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在深入探索数学的拓扑与分析鸿沟时，咱们常常遇到到一些观念，它们既具有深切的形而上学真义，又在施行诈欺中有着不可或缺的地位。紧致性便是这样的观念之一。尽管它最先的界说节略、直不雅——在欧几里得空间中，一个集会既闭又有界——但紧致性的魔力远非此所能涵盖。当咱们跳出欧几里得空间的界限，探入更浩荡、更抽象的拓扑空间，紧致性展现出其深千里的面庞。它与序列的极限、献媚函数的性质、以致是高档的微分几何和代数结构邃密连结。

假定给你一个有界的x轴线段，举例从0到1的开区间，是以所有这个词的实数都严格地位于0和1之间，但不包括0和1自己。

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你能在开区间（0,1）上画出一个莫得有限最大值的献媚函数的图吗？

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许多老例类型的弧线都不悦意要求，如正（余）弦函数、幂函数等。但有一个函数你应该不错预料：y=1/x。

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它的图形在x=0处变成一个垂直渐近线，这意味着当x接近0时，图形的高度会无限增长。因此，它莫得有限的最大值。

但如果我要求图形施行上波及x=0和x=1呢？也便是说，图形施行上必须包含一个x坐标为0的点和一个x坐标为1的点，是以不成有渐近线或开区间，但它仍然需淌若一条献媚的弧线。你现时能画出这样的函数弧线吗？

试图在某个地点缔造一个渐近线似乎可行，

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但无论你把渐近线放在何处，都会导致不献媚性。是以似乎只可在图上的确地设定一个最高点和最低点？

这样的问题是紧致性（compactness）观念不错匡助贬责的问题。它是拓扑学（Topology）和分析（Analysis）中最伏击的观念之一，第一次了解它时，你可能会嗅觉有点深重。那么，什么是紧致性？为什么它在当代数学中如斯基础？

郑重的界说

紧致性是体式的性质，大约更准确地说，是某种空间中的点集的性质。紧致性的一个尽头法度的界说是这样的：“如果K的每一个开隐敝都有一个有限的子隐敝，那么一个拓扑（或度规）空间的子集K就被称为'紧致的'。"

现时，让咱们“剖解”这个界说。最先，它提到了一个“拓扑”或“度规”空间。那是什么？

拓扑

在拓扑学中所有这个词的体式、弧线等都被看作是一个点的集会。而任何点集S都将其所在的空间永诀为其他三个集会：S的里面、S的外部和S的界限。

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要害要综合的是，一个集会可能包括也可能不包括它的界限，大约以致只包括它的部分界限。包含所有这个词界限的集会称为集”，不包含其界限的集会称为”开集"，只包括其部分界限的集会则莫得特定的称呼。

揭开紧致性的界说

回到界说，不深入细节，一个“拓扑”或“度规”空间仅仅一个空间，其中像开（open）、闭（closed）、里面（interior）、外部（exterior）、界限（boundary）等观念有真义。在计划紧致性时，需要综合的伏击集会是开集（open sets）。

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这些集会只包括里面点，这很伏击。这导致了界说的下一部分：开隐敝（open cover）。一个集会的开隐敝是一组开集，它们共同隐敝宗旨集会。不错是有限个，也不错是无限个，况且单个的大小不错率性。

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"子隐敝"仅仅这些灵通集的一个子集会，但仍然不错隐敝宗旨集。原始的隐敝自己亦然其子隐敝之一。

因此，一个"紧致"的集会是一个极端的集会，关于任何可能是无限的开集会的组合，只须你用它（无限开集会的组合）来隐敝这个集会（紧致集），你老是不错选择一个有限的子集会（无限开集会的组合的子集）来隐敝这个集会。

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为了形象化地意会这少量：联想你有一个橡皮泥体式，你不错用一些小的圆形模具（开集）来隐敝它。即使你不错用大批多个小的圆形模具来隐敝橡皮泥，但如果橡皮泥体式是“紧凑”的，那么总会有一种秩序，只用有限多的这些模具（可能只需要10个，或20个），仍然不错澈底隐敝所有这个词这个词橡皮泥体式。

综合，这并不等同于说这个集会不错被有限个开集会所隐敝。

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事实上，所有这个词的集会都是如斯：只需选择一个饱胀大的开集来隐敝它。大约，如果它是一个无界集，只需使用所有这个词这个词空间自己，它也被以为是一个开集。

这里说的是更躲闪的东西：它说，如果你给我一个可能相配复杂的开集的组合来隐敝紧致的集会，我老是不错只使用你给我的有限个开集来隐敝这个集会。大约换句话说，任何无限的开集的组合，如果它们一说念隐敝了一个紧致的集会，你老是不错使用一个有限的子集来隐敝它。这便是紧致集会的全部。

但即便如斯，现时还不太明晰哪种集会会适合这个态状。更进一形貌说，为什么具有这种属性的集会会这样深嗜或伏击呢？

是以让咱们望望是否不错更直不雅地了解这些集会是什么样的，以及它们不错作念什么。

紧致集会看起来像什么？

最节略的紧致集会仅仅一个有限集：一个由有限多个点构成的集会。

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因为如果我用开集团隐敝一个有限点的集会，我不错逐点选择一个包含该点的开集。终末，我至多为每个点选择了一个集会，尽管施行上可能更少，因为选择的一些开集可能隐敝了多个点。

这施行上相配接近紧致性的中枢：为拓扑宗旨，紧致集“模拟”有限集，也便是说，某些在有限集上使用的手段或时候也适用于紧凑集。这稍后再说。

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除了有限集会，你可能最先战斗到的紧致集的例子是实数线上的闭塞和有界集。是以著述开始的闭塞区间[0,1]便是一个紧致集的例子。

实数的闭塞和有界集是紧致的这一事实被称为Heine-Borel定理，是分析中的一个基本效力。这讲明注解起来需要一些手段，这里不展示了。现时，转向紧致性的另一种态状——序列紧致性（Sequential compactness）。

序列紧致性

为了意会它，请看底下一个点的序列。

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凭据序列的不同，它可能会或可能不会趋近于一个极限点。

如果它不握住，它可能通过发散到无限大或当场分散。如果它握住，则不错通过选择性地忽略序列中的某些点来索要出一个握住序列。

看一个例子：

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它只在0和1之间轮流。这个序列是发散的，因为它从来莫得趋近于0或1。

但如果咱们选择性地忽略1（或1），将会得到唯有0（或1）的序列，昭彰它们趋近于0（或1）。

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这是一个顶点的例子，但更普随处说，如果有一个发散的序列，但尽管如斯，在某些地点变成“群集（clusters）”，

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那么通过有选择地扔掉不在群皆集的点，索要出一个握住的序列

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称之为握住子序列（Convergent subsequence）。

回到紧致性，事实讲明注解，一个集会K是紧致的，当且仅当该集会内的每一个点的序列都有一个子序列趋近于该集会K内的一个点。也便是说，紧致集是一个集会，它迫使其里面的任何点的序列在紧致集内变成群集，并趋近于一个点。

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这被称为“序列紧致性（Sequential compactness）”，它与法度的紧致性观念是等价的，除了在某些不常见的拓扑空间中。

从这个新的视角启航，咱们不错通过究诘一个集会不成成为序列紧致的不同时势，来直不雅地念念考紧致集会，大约换句话说，浮松子序列握住的不同时势。

最节略的秩序是让原始序列趋向于无限大。

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然后任何子序列也将趋向于无限大，

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这意味着包含这样的序列的任何集会都不会是紧致的。是以一个紧致集会的第一个要求是它应该是有界的：它不成无限蔓延。

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浮松序列有一个握住子序列的第二种秩序是让它接近集会中的一个“孔”或“缺失点”，

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这不错是集会的里面的一个瑕玷，大约是一个缺失的界限。那么每一个子序列也将接近阿谁孔，况且将握住失败。是以一个集会是紧凑的第二个要求是它不应该有这样的缺失点。它应该是“完好的”。

现时，照旧有了有界性和完好性的两个要求。还有第三种，为了看到它，咱们需要一个无限维的空间。

想一下这个问题：一个二维空间中的任何点都不错用两个数字态状：x和y。相通，三维空间中的一个点不错用三个数字态状：x, y和z。是以一个无限维空间中的点不错用一个无限的数字列表态状：

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为了简化这个例子，我会甩掉这个空间只包括终末以一连串的零完了的列表，

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计划这样的点序列，

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施行上是列表：每个列表只包含一个1，其余的都是零，序列中的第n个列表在第n个位置有一个1。

这个列表的序列是有界的：它们都距离零列表的距离是1，

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但它并不握住：这个列表的序列不接近任何列表。你可能会以为它握住到零列表，因为在列表中的任何特定位置最终都会变成零，但从地说念的拓扑学的角度来看，它并不接近零列表，因为序列中的每一个列表都距离零列表1的距离。

当然地，任何子序列都一样。施行上，有一个点序列，它无停止地探索无限维空间的所有这个词无限多的坐标轴，同期老是保捏与原点的固定距离。是以它通过某种时势幸免了接近任何东西，穿越了无限的维度。这听起来像是科幻演义，但这是的确的数学。

咱们需要在一个集会上施加的甩掉来浮松这种情况被称为“澈底有界性（Total Boundness）”，它基本上说的是，

度规空间中的集会S是澈底有界的，如果关于率性给定的ε > 0: S不错被有限多个半径为ε的球所隐敝。

在咱们纯熟的有限维度欧几里得空间中，这与宽泛的有界性是一样的，因为任何有界的图形都不错用任何固定大小的有限多个球来隐敝，不管它们有多小。

关于无限维集会，情况并非如斯，因为（举例）如果我用半径为1/4的球包围序列中的每一个点，所有这个词的球都会相互分离，因为序列中的每一个列表都距离每一个其他列表的距离都特出1/2。

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是以，这序列所存在的集会不是澈底有界的。

当确保了澈底有界性后，咱们终于有了确保集会中的每个序列都有一个握住的子序列的条款，也便是说，这个集会是紧致的。因为有一个定理讲明，一个集会是紧致的，当且仅当它是完好的况且澈底有界的。

这是我直不雅地念念考紧致性的时势：一个集会是紧凑的，当它饱胀小且饱胀“实心”，以至于集会内的序列无法逃到无限远，逃入一个孔或旯旮，或通过无限的维度逃走。

在咱们熟知的有限维欧几里得空间中，这正值对应于那些闭塞和有界的集会，关联词正如咱们所看到的，关于更为奇特的空间来说，这并不老是饱胀的。

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这便是我直不雅地看待紧致集的时势，但即便如斯，为什么这样的集会关于分析和拓扑学如斯伏击呢？它们让咱们能作念什么？现时让咱们来探讨一下。

紧致集有何用？

紧致集之是以好，主淌若因为它们常常提供一种秩序，不错获取在集会上局部配置的属性，并将其膨大诈欺到所有这个词这个词集会上。让咱们来看一个例子。

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还紧记著述开始的阿谁穷苦吗？找到一个在闭区间[0,1]上的献媚函数，但它莫得最大值？事实讲明注解，这如实是不可能的，这归结为闭区间[0,1]是紧致的。在紧致集上界说的每个献媚函数都会达到最大值和最小值。这个事实被称为极值定理（Extreme Value Theorem）。为了展示紧致性在其中演出的要害扮装，咱们将讲明注解它的一个略隐微少量的版块：界说在紧致集上的任何献媚函数都是有界的，这意味着函数的输出既有有限的上界也有有限的下界，但咱们不要求函数施行上达到这些界限。

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为了具体化，咱们计划阿谁紧致集是闭区间[0,1]。

最先，计划区间[0,1]中的率性实数x。由于函数f是献媚的，这意味着x的小变化会导致f(x)的相对小的变化。

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事实上，如果将x的变化甩掉在一个饱胀小的区间内，称之为“δ区间”，我不错使函数的输出值，f(x)，保捏在某些范围内，比如说，距离它蓝本的地点0.1的距离。

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是以，从实质上讲，我界说了x周围的一个灵通区间，在诈欺f后，该区间的函数图甩掉在输出空间的有界区间内。

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换句话说，f在x周围是局部有界的。

你能看出这要抒发什么吗？咱们不错围绕界说域中的每一个点x构建一个这样的小δ区间，从而可能地隐敝所有这个词这个词[0,1]的大批个δ区间。

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关联词，因为[0,1]是紧致的，这意味着会过度隐敝，是以不错减少到仍然隐敝[0,1]的这些δ区间的有限子集。但由于f在每一个剩下的δ区间上都是有界的，况且这样的δ区间唯有有限多个，是以f必须有一个有限的全体上界：只需取所有这个词剩下的δ区间中f的最高上界。相通地，不错找到一个有限的全体下界。因此，f在所有这个词这个词区间[0,1]上都是有界的。咱们照旧将局部有界性回荡为全局有界性。

但请综合，如果界说域不是紧致的，这个讲明注解就会认识，比如在开区间（0,1）上。

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如果咱们尝试在函数f(x)=1/x上使用疏通的手段，会发现，当x值越来越接近x=0时，为了保捏疏通的y上的局部界限，δ区间会变得越来越细（因为函数在那里相配陡峻）。不需要x的太多变化，y就会超出咱们选择的最大值。在这里，咱们无法减少到这些δ区间的有限子集，因为为了隐敝到x=0，需要无限多的它们，因为它们会在越来越接近x=0的地点变得越来越窄。如果有无限多的δ区间，就不成保证有一个δ区间为函数f提供最高可能的上界，而关于函数1/x来说，确定莫得。

在高等数学中，你会一次又一次地遇到这个观念美高梅app下载网站，它时时是许多弘大结构的伏击构成部分，如函数空间——在这里，函数不错被视为无限维向量来究诘。当代数学的很大一部分都是开导在紧致性上的。